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一张纸最多能对折几次为什么(一张纸最多能对折几次?)

拿一张普通的A4纸,对折之后再对折,你觉得最多能对折几次?

盲猜:对折十几下应该不成问题吧?

然而,当你动手试过后,会发现:

A4纸对折7次后|作者供图

一张普通的A4纸,竟然很难对折超过7次!

7次,真的是折纸挑战的上限吗?能否突破这个限制?其实,这是一个简单的数学问题

01 折纸的数学描述

假设纸张的原始长度、宽度、厚度分别为a、b、t,对折n次后,三者尺寸的变化如下表所示。

A4纸对折次数与纸张尺寸的关系|作者供图

表中可以看到,每对折一次,长度或宽度减半,而厚度翻倍。它们之间存在一个2^n的幂次方关系,这个关系意味着尺寸关系变化非常快。许多故事都涉及2^n的幂次方关系。比如工资问题:第一天给你1分,第二天开始每天翻倍,一个月后总工资将超过1千万元。再比如国王的棋盘米粒问题:第一格1粒米,后面每格都翻倍,当64格放完时,整个王国甚至整个世界都将被掏空。

棋盘米粒倍增关系|作者供图

回到折纸问题,当对折第n次时,纸张厚度变成了原来的2^n倍。一张A4纸厚度约0.1毫米,如果对折23次,其厚度将达到约839米,而地球上最高的建筑物迪拜塔也不过828米高。

全球最高的建筑|图源:摄图网

当对折42次时,纸的厚度将达到439805公里,已经超过了地月平均距离(384403.9公里)。如果继续对折至58次,厚度将超过太阳系直径(约300亿公里);对折83次,就可以冲出银河系(直径约16万光年)了。

也许有一天我们可以靠折纸抵达太阳,登陆火星小小的A4纸,竟能在数学上睥睨宇宙。照这么对折下去,根本就不需要嫦娥六号了。但是,这么明显的一个大bug,自然会有“宇宙规则”来限制,这个规则就是力学与材料。

02 折纸的宇宙规则——力学与材料

现实中,普通A4纸通常只能对折7次。对折7次过后,纸张的理论尺寸变为:

长:18.6毫米

宽:26.3毫米

厚:12.8毫米

此时,厚度尺寸最小,再对折1次似乎并不难。但再对折1次后,厚度增加到25.6mm,远大于长和宽的尺寸,此时不容易弯折也比较容易理解。然而实际上,“宇宙规则”更早地介入了。对折完7次后,整个折纸的外观看起来非常“拧巴”,有很多地方出现了翘曲,纸张层与层之间的缝隙也变大了。这时,想要再对折第8次,变得非常困难。这到底如何解释呢?

原因1: 力的规则

随着折纸次数的增加,纸张的尺寸变得越来越小,厚度却越来越大。从力学角度来看,尺寸越小、厚度越大的物体,需要更大的力来弯折。

一方面,尺寸的缩小使作用力产生的弯矩变小,想要掰弯纸张需要更大的力。另一方面,厚度的增加使叠合纸张的刚度变得更大,更不容易变形。

弯折力的对比|作者供图

I为惯性矩,b为截面宽度,h为截面高度原因2:尺寸的规则

聪明的同学可能发现了一些端倪:如果A4纸变得更薄一些,对折后的纸也会薄一些。那么根据力的规则,更薄的叠合纸刚度更低,更容易弯折。确实如此,如果使用更薄的餐巾纸,对折8次相对容易。但是,纸的厚度不能无限减薄,于是选用更大尺寸的纸张,同样可以解决这个问题。在不知不觉当中,折纸成为了一项挑战。

最早的一项折纸纪录诞生于2002年。当时,美国加利福尼亚州一名叫Britney Gallivan的高三学生成功将一张纸连续对折了12次,创下了吉尼斯世界纪录

图源:Science Engineering Technology

2012年,美国德克萨斯州圣马克中学的学生们用一张长度超过4千米的纸对折了13次。由于最后一次折叠使用了许多辅助设施,这项纪录未被吉尼斯承认。

不被承认的13次纪录|图源:百家号

著名的《流言终结者》团队,将纸张拼接成55*75米的大纸,在压路机的帮助下,最终对折了11次。

流言终结者团队完成11次对折|图源:YouTube

原因3: 结构的规则

纸张对折后堆叠成一块,形成了类似于层合板的结构。这种层间不粘结的结构在弯折时,内层几乎保持不变,而外层则被拉长。越厚的纸张,外层被拉长的程度越大,因此需要的外力也越大。如果各层完全独立,仅靠摩擦力作用,它将不足以抵抗弯折力,弯折后容易产生层间滑移。而对于完整的纸,折痕处相互连接,这种连接力加上层间的摩擦力,使得层间不易滑动,需要更大的力来克服弯折力。

甚至,当纸张足够厚时,弯曲产生的外层纸张拉扯力会超过其抗拉极限,导致纸张破裂,挑战失败。另外,普通的A4纸单层也有一定的结构强度,这也是为什么更软的餐巾纸可以对折更多次。如果是同样柔软的薄丝绸,它也可以轻松对折超过7次。

又薄又软的丝绸对折8次|作者供图

对折次数的倍增关系可能会突破你的想象,不超过百次对折就能轻松突破银河系,睥睨宇宙。然而,宇宙的规则限制了A4纸的对折极限。随着对折次数的增加,由于力臂的减小和折痕连接力的增大,所需要的外力急剧增加。想要对折更多次,需要更薄、更软、更大的平面材料。


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